МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА» Кафедра «Автоматика і телемеханіка» Лабораторна робота № 2а з курсу «Теорія автоматичного керування» на тему «Дослідження впливу параметрів ланок на стійкість систем автоматичного управління» Виконав: студент гр. КС-43 Прийняв: Львів - 2005 Мета роботи:Вивчити вплив параметрів ланок САУ на її стійкість. Короткі теоретичні відомості. Для нормальної роботи будь-якої САУ необхідно щоб перехідні процеси в системі, викликані тими чи іншими зовнішніми впливами, з часом затухали.САУ, в яких перехідний процес затухає через деякий час, називаються стійкими.САУ, в яких перехідний процес з ростом часу розходиться, називаються нестійкими. Про САУ, в яких перехідний процес з протіканням часу не затухав і не розходиться кажуть, що вони знаходяться на межі стійкості. Приблизний вигляд перехідних процесів для вказаних трьох випадків показано на рис. 1. Як видно з рис.1, стійкість є необхідною умовою працездатності будь-якої САУ. Стійкість лінійних систем визначається тільки виглядом та розташуванням коренів характеристичного рівняння системи:
де а0...ап - постійні коефіцієнти, р- деяке комплексне число, яке є розв'язком характеристичного рівняння. Характеристичне рівняння можна отримати з диференціального рівняння руху системи автоматичного регулювання шляхом прирівняння до нуля його лівої частини. Корені характеристичного рівняння можуть бути дійсними, комплексними, або уявними. Для того, щоб лінійна САУ була стійкою, необхідно і достатньо, щоб дійсні частини всіх коренів характеристичного рівняння САУ були від'ємними. Якщо хоч один дійсний корінь або пара комплексних коренів мають додатні значення дійсної частини, САУ є нестійкою. У випадку, коли хоча б один дійсний корінь або дійсна частина пари комплексних коренів рівні нулю, САУ знаходиться на межі стійкості. Аперіодична межа стійкості має місце, коли в характернетичному рівнянні один або кілька коренів рівні нулю,а решта мають від'ємне значення дійсної частини. САУ, що знаходиться на аперіодичній межі стійкості, є стійкою по відношенню до швидкості зміни регульованої величини, а щодо самої регульованої величини така САУ є нейтральною. В зв'язку з цим САУ, що знаходяться на аперіодичній межі стійкості, часто називають нейтральними. У випадку, коли характеристичне рівняння має одну або декілька пар суто уявних коренів, а всі решта розташовані в лівій півплощині, має місце границя стійкості другого типу, яку називають коливною межею стійкості. В такій системі існують нсзатухаючі гармонічні коливання з постійною амплітудою. На практиці найчастіше можна зустрітися з коливною межею стійкості і для САУ вона є найбільш небезпечною. Очевидно, судити про стійкість системи можна після вирахування значень коренів характеристичного рівняння. Однак для систем високих порядків виникають значні труднощі розв'язування рівнянь. Тому було запропоновано ряд критеріїв, які дозволяють визначити стійкість системи, без обчислення коренів характеристичного рівняння. Критерій стійкості Гурвіца. З коефіцієнтів характеристичного рівняння (1) складають головний визначник:
за наступними правилами: а) по головній діагоналі виписують послідовно всі коефіцієнти рівняння (1) починаючи з а1 до аn б) стовпчики визначника заповнюють угору коефіцієнтами з індексами в порядку зростання, униз елементами з індексами в порядку спадання; в) всі коефіцієнти з індексами менше 0 та більше n заміняють нулями. Формулювання критерію Гурвіца: система буде .стійкою, якщо при а0 > 0 головний визначник Гурвіца Δn, і всі його діагональні мінори Δі, будуть більші нуля, де Δі визначають за наступними формулами:
З критерію Гурвіца витікає: щоб САУ була стійкою, необхідно, але недостатньо, щоб всі коефіцієнти характеристичного рівняння були позитивними. Головний визначник Гурвіца виражається через передостанній наступним чином:
Умову знаходження системи на межі стійкості можна отримати, прирівнявши до нуля Δn і при позитивних значеннях ...